Atividade Obmep Nível 2
Questões da OBMEP Nível 2
Questions and Answers
- 1.
![[2015 - OBMEP - Nível 2]Nas balanças há sacos de areia de mesmo peso e tijolos idênticos. Quanto deve marcar a última balança? - ProProfs](data:image/png;base64,R0lGODlhAQABAAD/ACwAAAAAAQABAAACADs= "[2015 - OBMEP - Nível 2]Nas balanças há sacos de areia de mesmo peso e tijolos idênticos. Quanto deve marcar a última balança?")
[2015 - OBMEP - Nível 2]Nas balanças há sacos de areia de mesmo peso e tijolos idênticos. Quanto deve marcar a última balança?
- A.
22 Kg
- B.
23 Kg
- C.
24 Kg
- D.
25 Kg
- E.
26 Kg
Correct Answer
B. 23 KgExplanation
A diferença entre o que há na primeira balança e o que há a balança do meio é exatamente o que há na última
balança; logo, na última balança deve aparecer a marcação 64 – 41 = 23 kg.Rate this question:
-
- 2.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Rita tem R$ 13,37 em moedas de 1 centavo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 centavos, de 50 centavos e de 1 real. Ela tem a mesma quantidade de moedas de cada valor. Quantas moedas ela tem no total?
- A.
24
- B.
30
- C.
36
- D.
42
- E.
48
Correct Answer
D. 42Explanation
Observe que somando os valores de todas as moedas obtemos: 1,00 + 0,50 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,01 = 1,91.
Como 13,37 ÷ 1,91 = 7, ele terá 7 x 6 = 42 moedas, pois há 6 tipos diferentes de moedas.Rate this question:
-
- 3.
[2015 - OBMEP - Nível 2]A peça da Figura 1 foi montada juntando-se duas peças, sem sobreposição.Uma das peças utilizadas foi a da Figura 2.Qual foi a outra peça utilizada?
- A.
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- B.
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- C.
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- D.
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- E.
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Correct Answer
A. -
- 4.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Na malha hexagonal, a casa central recebeu o número 0 e as casas vizinhas a ela receberam o número 1. Em seguida, as casas vizinhas às de número 1 receberam o número 2 e assim sucessivamente, como na figura. Quantas casas receberam o número 6?
- A.
32
- B.
36
- C.
42
- D.
48
- E.
54
Correct Answer
B. 36Explanation
Observemos os segmentos que unem os centros dos hexágonos de cada etapa,
mostrados na figura ao lado. Percebemos que cada um desses segmentos, na etapa 1,
une dois centros, na etapa 2, três centros, na etapa 3, quatro centros e assim
sucessivamente, aumentando 1 centro por segmento, por etapa.
Como em cada etapa os segmentos que unem os centros formam um hexágono,
temos o acréscimo de 6 pequenos hexágonos por etapa. Logo, 6 hexágonos recebem
o número 1, 6+6=12 recebem o número 2, (6+6+6)=3x6=18 recebem o número 3 e,
continuando o processo, concluímos que 6 x 6 = 36 hexágonos recebem o número 6.Rate this question:
-
- 5.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Um grupo de 20 amigos reuniu-se em uma pizzaria que oferece a promoção descrita na figura. Cada pizza grande foi cortada em 12 fatias e cada um dos amigos comeu 5 fatias de pizza. Quantos reais, no mínimo, o grupo pagou pelas pizzas?
- A.
R$ 180,00
- B.
R$ 210,00
- C.
R$ 240,00
- D.
R$ 270,00
- E.
R$ 300,00
Correct Answer
C. R$ 240,00Explanation
Como são 20 pessoas e cada pessoa comeu 5 pedaços de pizza, foram comidos 20 x 5 = 100 pedaços no total.
Como cada pizza contém 12 pedaços e 100 ÷ 12 tem quociente 8 e resto 4, concluímos que serão necessárias 9
pizzas. Devido à promoção, uma dessas 9 pizzas será gratuita. Assim, eles devem pagar por 8 pizzas e, portanto,
gastar 8 x 30,00 = 240,00 reais.Rate this question:
-
- 6.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Na subtração abaixo cada letra representa um algarismo diferente. Qual é o algarismo que C representa?
- A.
2
- B.
4
- C.
5
- D.
7
- E.
9
Correct Answer
E. 9 -
- 7.
[2015 - OBMEP - Nível 2]A figura abaixo é formada por dois quadrados de lado 6 cm e dois triângulos. Se M é o ponto médio de AB, qual é a área total da figura?
- A.
90 cm²
- B.
96 cm²
- C.
100 cm²
- D.
108 cm²
- E.
120 cm²
Correct Answer
A. 90 cm²Explanation
Como os quadrados estão dispostos de forma que os pontos A, M e B estão alinhados, e
como M é o ponto médio de AB, segue que os dois triângulos da figura são triângulos
retângulos, com catetos medindo 6 e 3 centímetros. Assim, a área de cada quadrado é
6 × 6 = 36 cm2 e a área de cada triângulo é 6×3
2
= 9 cm2
. A área total da figura é 36 + 36 +9 +
9 = 90 cm2
.
Pode-se também deslocar um dos triângulos para se obter um outro método de resolução.Rate this question:
-
- 8.
[2015 - OBMEP - Nível 2]No quadriculado abaixo foram marcados seis pontos: A, B, C, D, E e F. Uma formiguinha parte de um desses pontos e, andando apenas 5 cm, consegue visitar todos os outros pontos. Um exemplo é mostrado na figura. De quantas maneiras diferentes a formiguinha pode escolher um ponto de partida e depois visitar todos os outros pontos andando apenas 5 cm?
- A.
6
- B.
8
- C.
12
- D.
16
- E.
18
Correct Answer
D. 16Explanation
Há exatamente 4 x 3 + 2 x 2 = 16 possibilidades, três para cada um dos pontos dos cantos A, C, F e D e dois para
cada um dos pontos intermediários B e E.Rate this question:
-
- 9.
[2015 - OBMEP - Nível 2]O trapézio ABCD foi dobrado ao longo do segmento CE, paralelo ao lado AD, como na figura. Os triângulos EFG e BFH são equiláteros, ambos com lados de 4 cm de comprimento. Qual é o perímetro do trapézio?
- A.
16 cm
- B.
18 cm
- C.
20 cm
- D.
24 cm
- E.
32 cm
Correct Answer
E. 32 cmExplanation
Primeiro observamos que AD = EC, por serem lados opostos do
paralelogramo AECD. Após a dobradura o segmento AD ocupou a
posição representada pelo segmento GH, logo os segmentos EC e HG
são paralelos e tais que EC = AD = GH = GF + FH = 4 + 4 = 8 cm.
Também valem as igualdades DC = AE = EG = 4 cm. Além disso,
usando que os triângulos EFG e BFH são equiláteros, temos as
seguintes relações:
CEB HFB 60
(correspondentes)
EBC FBH 60
ECB 180 CEB EBC 60
Assim, o triângulo EBC é equilátero de lado EB = EF + FB = 8 cm. O perímetro do trapézio é ABCD é,
portanto, AE + EB + BC + DC + AD = 4 + 8 + 8 + 4 + 8 = 32 cm.Rate this question:
-
- 10.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Em um palácio estavam presentes apenas o rei e alguns de seus súditos. Cada um dos presentes acenou para cada um dos demais uma única vez, com exceção do rei, que não acenou para ninguém. Houve um total de 1296 acenos. Quantos súditos estavam presentes no palácio?
- A.
16
- B.
24
- C.
36
- D.
44
- E.
56
Correct Answer
C. 36Explanation
Cada um dos n súditos presentes acenou n vezes (para o rei e para os demais n – 1 súditos). Logo, houve um
total de n2
acenos. Portanto, deve-se ter n2
= 1296, ou seja, n = 36. Havia, assim, 36 súditos no palácio.Rate this question:
-
- 11.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Joãozinho tem um tabuleiro como o da figura, no qual há uma casa vazia, uma casa com uma peça preta e as demais casas com peças cinzentas. Em cada movimento, somente as peças que estão acima, abaixo, à direita ou à esquerda da casa vazia podem se movimentar, com uma delas ocupando a casa vazia. Qual é o número mínimo de movimentos necessários para Joãozinho levar a peça preta até a casa do canto superior esquerdo, indicada pelas setas?
- A.
13
- B.
21
- C.
24
- D.
36
- E.
39
Correct Answer
E. 39 -
- 12.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Luciano queria calcular a média aritmética dos números naturais de 1 a 15. Ao calcular a soma desses números, ele esqueceu de somar dois números consecutivos. Após dividir a soma dos treze números por 15, obteve 7 como resultado. Qual é o produto dos números que Luciano esqueceu de somar?
- A.
30
- B.
56
- C.
110
- D.
182
- E.
210
Correct Answer
B. 56Explanation
Como a média aritmética de n números é igual à soma desses números dividida por n, Luciano dividiu a soma que
achou na calculadora por 15 e obteve 7. Disto concluímos que a soma que ela achou foi 15 x 7 = 105. Porém, a
soma de todos os números naturais de 1 a 15 é igual a 15 x 16 ÷ 2 = 120. Logo, os números que ele pulou somam
120 – 105 = 15. Se o menor deles é x, o outro é x + 1, temos x + (x+1) = 15, logo x = 7. Assim x + 1 = 8 e o
produto dos dois números que Luciano esqueceu de somar é 7 x 8 = 56.Rate this question:
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- 13.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Júlia dobrou várias vezes uma tira retangular de papel com 3 cm de largura, como na figura. Todas as dobras formam um ângulo de 45º com os lados da tira. Qual é o comprimento dessa tira?
- A.
21 cm
- B.
27 cm
- C.
30 cm
- D.
33 cm
- E.
36 cm
Correct Answer
D. 33 cm -
- 14.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Com retângulos iguais, quadrados iguais e triângulos isósceles iguais, foram montadas três figuras.O contorno da Figura 1 mede 200 cm e o da Figura 2 mede 234 cm. Quanto mede o contorno da Figura 3?
- A.
244 cm
- B.
300 cm
- C.
332 cm
- D.
334 cm
- E.
468 cm
Correct Answer
A. 244 cm -
- 15.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Os números naturais x e y são tais que X² - XY = 23. Qual é o valor de x+y?
- A.
24
- B.
30
- C.
34
- D.
35
- E.
45
Correct Answer
E. 45Explanation
Como x
2
-xy = 23, então x(x-y) = 23, mas 23 é um número primo e assim temos somente duas possibilidades:
x =1 e x-y = 23. Isto implica y = - 22, o que não nos interessa pois x e y são números naturais
ou
x = 23 e x-y = 1. Isto nos leva a y = 22.
Logo x + y = 22 + 23 = 45.Rate this question:
-
- 16.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Ana tem quatro cartões triangulares iguais, cujos lados, em centímetros, medem a, b e c, sendo a, b e c números naturais distintos. Se Ana unir dois dos cartões juntando seus lados maiores, formará um quadrilátero com perímetro de 26 cm, como na Figura 1. Entretanto, se ela unir os outros dois cartões juntando seus lados menores, formará um quadrilátero com perímetro de 30 cm, como na Figura 2. Qual é o perímetro de cada cartão triangular?
- A.
21 cm
- B.
22 cm
- C.
23 cm
- D.
24 cm
- E.
25 cm
Correct Answer
A. 21 cmExplanation
Conforme o enunciado, se 𝑎 for o lado maior e 𝑐 o lado menor dos
triângulos, temos que 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0, 2𝑎 + 2𝑏 = 30 e que 2𝑏 +2𝑐 = 26.
Logo, 𝑎 +𝑏 = 15 e 𝑏 + 𝑐 = 13. Assim, 𝑎 + 13 − 𝑐 = 15 e, portanto,
𝑎 = 𝑐 +2. Como 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0 são números naturais, segue que
𝑏 = 𝑐 + 1 e que 𝑎 = 𝑐 + 2 = 𝑏 + 1. Substituindo 𝑎 por 𝑏 + 1 na equação
𝑎 + 𝑏 = 15, obtemos que 𝑏 + 1+ 𝑏 = 15, logo, 𝑏 = 7.
Consequentemente, 𝑎 = 7+ 1 = 8 e 𝑐 = 7 − 1 = 6. Finalmente, o
perímetro do triângulo é 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 8 + 7+ 6 = 21 cm.
Observamos que, ao unir os cartões por um de seus lados iguais, Ana deve escolher a posição de cada cartão
dentre duas posições possíveis. Logo, após escolher o lado comum dos cartões, Ana tem quatro possibilidades
para uni-los, mas em todas as quatro escolhas o quadrilátero formado terá o mesmo perímetro. A figura abaixo,
mostra as quatro possibilidades para o caso em que Ana escolheu o lado maior para unir os cartões. Nesse caso,
o perímetro do quadrilátero é igual a 2b+ 2c = 2(b + c).Rate this question:
-
- 17.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Um casal e seus filhos viajaram de férias. Como reservaram dois quartos em um hotel por 15 noites, decidiram que, em cada noite, dois filhos dormiriam no mesmo quarto de seus pais, e que cada filho dormiria seis vezes no quarto dos pais. Quantos são os filhos do casal?
- A.
5
- B.
6
- C.
7
- D.
8
- E.
9
Correct Answer
A. 5 -
- 18.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. Cada participante premiado pôde receber uma única medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa premiação?
- A.
20
- B.
30
- C.
60
- D.
90
- E.
120
Correct Answer
D. 90Explanation
Chamando cada participante pela primeira letra de seu nome, as possibilidades de escolha dos 2 premiados são:
AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE, ou seja, há 10 possibilidades. As possibilidades de escolha das
duas premiações são: Ouro Ouro, Ouro Prata, Ouro Bronze, Prata Ouro, Prata Prata, Prata Bronze, Bronze Ouro,
Bronze Prata e Bronze Bronze, ou seja, há 9 possibilidades. Pelo Princípio Multiplicativo, as diferentes formas de
premiação são 10 x 9 = 90.
Outra solução Existem dois casos a considerar: ou os dois meninos premiados ganharam medalhas iguais, ou
ganharam medalhas diferentes.
Se as medalhas são iguais, há 3 possibilidades para as medalhas, a saber, ou as duas são de ouro, ou as duas
são de prata, ou as duas são de bronze. Além disso, dos 5 meninos, apenas 2 receberam medalhas, o que pode
ocorrer de 5×4
2
maneiras diferentes (são 5 escolhas para o primeiro e são 4 escolhas para o segundo menino, mas
precisamos dividir por 2, para eliminar as repetições, uma vez que para determinar a dupla de premiados, não
importa a ordem de escolha dos meninos). Logo, pelo Princípio Multiplicativo, há 3 ×
5×4
2
= 3 × 10 = 30
possibilidades para a premiação de dois desses meninos com medalhas iguais.
No segundo caso, se as medalhas recebidas pelos 2 meninos premiados são diferentes, há 3 possibilidades para
os tipos de medalhas: ouro e prata; ouro e bronze; e prata e bronze. Em cada uma dessas possibilidades, a mais
valiosa será recebida por 1 dos 5 meninos e a outra por um dentre os 4 meninos restantes. Assim, pelo Princípio
Multiplicativo, nesse caso, o número de formas diferentes de premiação é 3 × 5 × 4 = 60.
Portanto, pelo Princípio Aditivo, o número total de formas diferentes de ocorrer a premiação é 30 + 60 = 90.Rate this question:
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- 19.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Maria desenhou duas circunferências e duas retas, determinando 11 pontos de intersecção, como mostra a figura. Se ela desenhar mais três retas distintas entre si e também das demais, qual será, no total, o maior número possível de pontos de intersecção?
- A.
17
- B.
24
- C.
32
- D.
40
- E.
54
Correct Answer
C. 32Explanation
Para obter a maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção, Maria deve desenhar as
próximas retas em uma disposição de tal modo que, cada nova reta desenhada, intersecte cada circunferência já
desenhada em dois pontos, e intersecte cada reta já desenhada em um ponto, todos distintos entre si e dos já
desenhados.
A maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção que a terceira reta pode gerar é 2+2+1+1 = 6
pontos.
A maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção que a quarta reta pode gerar é 2+2+1+1+1 = 7
pontos.
A maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção que a quinta reta pode gerar é 2+2+1+1+1+1 =
8 pontos.
Logo, a maior quantidade possível para o total de pontos de intersecção é 11+6+7+8 = 32 pontos.Rate this question:
-
- 20.
[2015 - OBMEP - Nível 2]Daniel e mais quatro amigos, todos nascidos em estados diferentes, reuniram-se em torno de uma mesa redonda. O paranaense sentou-se tendo como vizinhos o goiano e o mineiro. Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergipano. O goiano sentou-se tendo como vizinhos Edson e Adão. Bruno sentou-se tendo como vizinhos o tocantinense e o mineiro. Quem é o mineiro?
- A.
Adão
- B.
Bruno
- C.
Carlos
- D.
Daniel
- E.
Édson
Correct Answer
D. DanielExplanation
Eliminamos o caso em que Edson é paranaense com a informação de que
"Edson sentou-se tendo como vizinhos Carlos e o sergipano", pois se Edson
fosse paranaense ele estaria entre o goiano e o mineiro. Portanto, Adão é o
paranaense. Como Edson sentou-se entre Carlos e o sergipano, concluímos
que Carlos é goiano e o lugar entre Edson e o mineiro é do sergipano. A
última informação do enunciado diz que Bruno sentou-se entre o tocantinense
e o mineiro. Logo, Edson é tocantinense e Bruno é sergipano. Portanto,
Daniel é mineiro.Rate this question:
-
- 21.
OBMEP 2012 Nível 2O valor de 1000 x 20,12 x 2,012 x 100 é:
- A.
(20120)²
- B.
(2,012)²
- C.
(201,2)²
- D.
(20,12)²
- E.
(2012)²
Correct Answer
E. (2012)²Explanation
Usando a comutatividade da multiplicação, podemos escrever
1000 × 20,12 × 2,012 ×100 = 1000 × 2,012 × 00 × 20,12 = 2012 × 2012 = (2012)2
.Rate this question:
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- 22.
OBMEP 2012 Nível 2Carlinhos escreveu várias vezes o número 2012 horizontalmente, como indicado na figura. Em seguida, ele desenhou 2012 retângulos, cada um ao redor de cada um dos números 2012 que podiam ser lidos verticalmente. Qual é a soma de todos os algarismos escritos por Carlinhos?
- A.
10000
- B.
10060
- C.
10075
- D.
12012
- E.
20120
Correct Answer
C. 10075Explanation
Observe que para obter o primeiro retângulo foi necessário escrever quatro vezes o número 2012.
Em seguida, para cada novo retângulo bastou escrever mais uma vez o número 2012; assim,
Carlinhos escreveu 4 + 2011= 2015 vezes o número 2012 Portanto, a soma de todos os
algarismos escritos é 2015 × (2 + 0 +1+ 2) = 2015 × 5 = 10075.Rate this question:
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- 23.
OBMEP 2012 Nível 2Um quadrado de lado 1 cm roda em torno de um quadrado de lado 2 cm, como na figura, partindo da posição inicial e completando um giro cada vez que um de seus lados fica apoiado em um lado do quadrado maior.Qual das figuras a seguir representa a posição dos dois quadrados após o 2012º giro?
- A.
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- B.
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- C.
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- D.
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- E.
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Correct Answer
A.Explanation
Basta verificar que após oito giros sucessivos o quadrado menor retorna à sua posição inicial.
Como 2012 8 = × + 251 4 , após o 2012º giro o quadrado cinza terá dado 251 voltas completas no
quadrado maior e mais quatro giros, parando na posição que corresponde à alternativa A.Rate this question:
-
- 24.
OBMEP 2012 Nível 2A professora Luísa observou que o número de meninas de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual é o menor número possível de alunos dessa turma?
- A.
24
- B.
37
- C.
40
- D.
45
- E.
48
Correct Answer
B. 37Explanation
O número 0,48 pode ser escrito na forma de uma fração decimal como 48
100
. Simplificando esta
fração de modo que o numerador e o denominador sejam os menores possíveis, obtemos
48 12
100 25
= . Assim, os dois menores números inteiros positivos que produzem o quociente 0,48 são
os números 12 e 25, que representam, respectivamente, o menor número possível de meninas e
de meninos da turma; logo o menor número possível de alunos é 12 25 37 + = .Rate this question:
-
- 25.
OBMEP 2012 Nível 2Uma caixa contém bolas brancas e pretas. Daniel retirou 60% das bolas, observou que 55% dessas bolas eram brancas e devolveu todas as bolas para a caixa. Qual é o maior percentual possível de bolas brancas na caixa?
- A.
60%
- B.
65%
- C.
68%
- D.
73%
- E.
75%
Correct Answer
D. 73% -
- 26.
OBMEP 2012 Nível 2O retângulo ao lado, que foi recortado de uma folha de papel quadriculado, mede 4 cm de largura por 5 cm de altura. Qual é a área da região cinzenta?
- A.
10 cm²
- B.
11 cm²
- C.
12,5 cm²
- D.
13 cm²
- E.
14,5 cm²
Correct Answer
A. 10 cm²Explanation
Dividimos a figura em regiões indicadas pelas letras A, B e C, como mostrado
ao lado. Regiões com a mesma letra são idênticas, e tanto a parte branca
quanto a parte cinzenta consistem de duas regiões A, duas regiões B e duas
regiões C; segue que a área da parte cinzenta é igual à área da parte branca.
Cada uma dessas áreas é então a metade da área total do retângulo, que é
4 × = 5 20 cm2
. Logo a área da parte cinzenta é 10 cm2
.Rate this question:
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- 27.
OBMEP 2012 Nível 2Ana escreveu cinco números em uma folha de papel. Escondendo cada um deles e somando os outros quatro, ela obteve os seguintes resultados: 29, 32, 35, 39 e 41. Qual é a soma do maior com o menor dos números que Ana escreveu?
- A.
10
- B.
12
- C.
15
- D.
18
- E.
20
Correct Answer
D. 18Explanation
Na soma 29 + 32 + 35 + 39 + 41= 176, cada um dos cinco números que Ana escreveu aparece
quatro vezes; logo a soma desses números é 176 ÷ 4 = 44. O menor número que Ana escreveu é
então 44 − 41= 3e o maior é 44 − 29 = 15 (os outros números são 5, 9 e 12). A soma procurada é
então 15 + 3 = 18 .Rate this question:
-
- 28.
OBMEP 2012 Nível 2A figura foi formada por oito trapézios isósceles idênticos, cuja base maior mede 10 cm. Qual é a medida, em centímetros, da base menor de cada um desses trapézios?
- A.
4
- B.
4,5
- C.
5
- D.
5,5
- E.
6
Correct Answer
C. 5Explanation
A figura ao lado mostra uma parte do hexágono formada por três
trapézios. Prolongamos os segmentos AF e DE para obter os pontos
P e Q, como indicado. Como os trapézios são idênticos, os ângulos
assinalados são iguais; segue que AP e QD são paralelos. Como
PD e EF, sendo bases de um trapézio, também são paralelos,
segue que PDEF é um paralelogramo; em particular, temos PF DE = . Da igualdade dos trapézios
temos AF DE EF = = e concluímos que AP EF = 2 . Notamos agora que APCB também é um
paralelogramo; logo 2 BC AP EF = = e como BC = 10 segue que EF = 5 .
Outra solução é a seguinte. Como os trapézios são idênticos, o
hexágono que eles formam é regular. Como o ângulo interno α desse
hexágono mede 120
°
, o ângulo β mede 120 60
2
°
°
= . Logo o triângulo
ABC é equilátero; como AC CD = temos BC CD = e segue que o
paralelogramo BCDE é um losango. Assim, B é o ponto médio de AE e
então 1 1 10 5
2 2
AC BE = = AE = × = cm.Rate this question:
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- 29.
OBMEP 2012 Nível 2Renata montou uma sequência de triângulos com palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na figura. Um desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. Quantos palitos formam o lado desse triângulo?
- A.
6
- B.
7
- C.
8
- D.
9
- E.
10
Correct Answer
D. 9Explanation
O primeiro triângulo da sequência é formado por três palitos. Para n ≥ 2, o triângulo que ocupa a
posição n na sequência é formado acrescentando n triângulos iguais ao primeiro ao triângulo
precedente. Logo, o total de palitos utilizados para construir o triângulo que ocupa a posição n na
sequência é 3 ( 1) 1 3 2 3 3 (1 2
2
3 ) n n
n n
+
⋅ + ⋅ + … + = ⋅ + + … + = . Para saber em qual triângulo foram
usados 135 palitos, devemos resolver a equação 3n(n +1)
2
= 135, ou seja, n n( 1) 90 + = . Por
inspeção, vemos que a raiz positiva dessa equação é n = 9 ; logo o triângulo que estamos
procurando é o nono triângulo da sequência, cujo lado tem 9 palitos.Rate this question:
-
- 30.
OBMEP 2012 Nível 2Se A e B representam algarismos diferentes e o valor de A x A+ A é o número de dois algarismos AB, qual é o valor de B x B + B?
- A.
A
- B.
B
- C.
AB
- D.
AA
- E.
ABA
Correct Answer
B. BExplanation
Em notação decimal, o número de dois algarismos AB tem o valor 10A B+ . Temos então
A× A+ A = A
2
+ A = 10A+ B e segue que A
2
− 9A = B, ou seja, A A( − 9) = B. Como A é o algarismo
das dezenas de um número de dois algarismos, temos 1≤ ≤ A 9 ; se A < 9 então A− 9 será
negativo e B também será negativo, o que não acontece pois 0 9 ≤ ≤ B . Logo A = 9; segue que
B = 0 e B B B B × + = × + = = 0 0 0 0 .Rate this question:
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![[2015 - OBMEP - Nível 2]Maria desenhou duas circunferências e duas retas, determinando 11 pontos de intersecção, como mostra a figura. Se ela desenhar mais três retas distintas entre si e também das demais, qual será, no total, o maior número possível de pontos de intersecção? - ProProfs](https://matematicazup.com.br/wp-content/uploads/2016/04/Q19-300x250.png?972efe "[2015 - OBMEP - Nível 2]Maria desenhou duas circunferências e duas retas, determinando 11 pontos de intersecção, como mostra a figura. Se ela desenhar mais três retas distintas entre si e também das demais, qual será, no total, o maior número possível de pontos de intersecção?")
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Current Version
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Jun 03, 2016Quiz Edited by
ProProfs Editorial Team -
May 30, 2016Quiz Created by
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